A2. Equação de Diferenças Finitas Linear de Segunda Ordem - IV

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Figura A2. Estabilidade da Equação de Diferenças Finitas de 2a Ordem

Demonstração: (Condição Necessária) Considere a função f (λ) = λ2 + a λ + b, que é convexa, pois sua derivada segunda é positiva. Suponha que a solução de equilíbrio da equação de diferenças finitas de segunda ordem é estável. Então, as raízes λ1 e λ2 da equação f(λ) = 0 são, em valores absolutos, menores do que 1. Portanto, f (1) > 0, que implica 1 + a + b > 0, e f (-1) > 0, que acarreta a seguinte desigualdade 1 - a + b > 0. Obviamente estas duas restrições também são satisfeitas quando as raízes forem complexas. Por outro lado, sabemos que λ1 λ2 = b. 

Logo, se as raízes forem complexas λ λ 1 2 2 = 2 = b < 1, e se as raízes forem reais o produto delas deve ser menor do que 1, pois elas estão compreendidas entre -1 e 1. Consequentemente: 1 - b > 0. ( Condição Suficiente): Suponha que 1 + a + b > 0, 1 - a + b > 0 e 1 - b > 0. É fácil verificar-se que em qualquer situação os valores absolutos das raízes λ1 e λ2 são menores do que 1. Portanto, a solução de equilíbrio é estável. A área hachureada da Figura A2 mostra a região na qual os valores dos parâmetros a e b conduzem a uma solução de equilíbrio estável para a equação de diferenças finitas de segunda ordem.