A.6 Sistema Linear de Equações Diferenciais de 1a Ordem - V

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Figura A11. Diagrama de Fase: Ponto de Sela

II) Admita-se que a11 > 0, a12 > 0, a21< 0 e a22 >0. O sistema é instável pois trA > 0. A Figura A10 mostra o diagrama de fases para este caso. O sistema é instável, pois partindo-se de qualquer ponto, como o ponto A, move-se para longe do ponto de equilíbrio E. 

III) Suponha-se, agora, que a11 < 0, a12< 0, a21 < 0 e a22 >0. O sistema é instável porque A < 0 e o sinal do traço da matriz A é a priori, indeterminado, trA ≥< 0. A Figura A11 mostra o diagrama de fase para este exemplo. O sistema é instável, pois partindo-se de pontos como os pontos A e B move-se para longe da posição de equilíbrio (ponto E). Observe-se que neste caso uma das raízes da equação x − (trA) x + A x = 0 é positiva, enquanto que a outra é negativa, em virtude de r1 r2 = |A| < 0. 

Portanto, se o valor da constante associada à raiz positiva for nulo, o sistema converge para o ponto de equilíbrio E. Nestas circunstâncias denomina-se o ponto de equilíbrio de ponto de sela, existindo portanto, uma trajetória, representada na Figura A11 pela reta SS, que conduz o sistema ao equilíbrio.