A2. Equação de Diferenças Finitas Linear de Segunda Ordem - III

Tweet são, também, soluções da equação de diferenças finitas xt + a xt-1 + b xt-2 = 0. Daí, conclui-se que

A2. Equação de Diferenças Finitas Linear de Segunda Ordem - II

Tweet Em todas as três situações as constantes C1 e C2 dependem das condições iniciais da equação. Para demonstrar-se as proposições anteriores basta verificar-se que a s expressões de xt satisfazem a equação de diferenças finitas linear de segunda ordem. Com efeito, tomemos o caso das raízes reais e desiguais:

e que nos leva a concluir que xt é uma solução. Quando as raízes são complexas conjugadas elas podem ser expressas por:

A2. Equação de Diferenças Finitas Linear de Segunda Ordem - I

Tweet A equação de diferenças finitas linear de segunda ordem é definida por:

onde b≠0. Quando k=0, a equação é denominada homogênea. A solução geral da equação de diferenças finitas de segunda ordem consiste de duas partes aditivas. A primeira, denominada solução de equilíbrio, é obtida através da resolução da seguinte equação:

APÊNDICE - II

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A análise da estabilidade da solução da equação pode ser feita com auxílio de um diagrama de fase, onde marca-se o valor de xt no eixo das ordenadas e o de xt-1 no eixo das abcissas, como indicado na Figura A1. A reta OA com ângulo de 45º, passando pela origem, é o lugar geométrico dos pontos em que a abcissa é igual à ordenada: xt=xt-1. A reta BC representa a equação xt=a xt-1 +k. A interseção das duas retas, OA e BC, é a solução de equilíbrio da equação. A Figura A1a mostra o caso em que a solução é estável, pois partindo-se de qualquer valor inicial, como por exemplo xo, o valor de x converge gradualmente para o ponto E. No exemplo da Figura A1b, a solução é instável, pois a partir de qualquer valor inicial de x, como xo, a trajetória da variável x diverge do ponto E.

Figura A1. Diagrama de Fases

APÊNDICE - I

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Este apêndice tem como objetivo apresentar alguns resultados básicos sobre equações de diferenças finitas lineares de primeira e de segunda ordem, sistemas lineares de equações de diferenças finitas de primeira ordem, equações diferenciais lineares de primeira e de segunda ordem, e sistemas lineares de equações diferenciais de primeira ordem, que são largamente utilizados no texto. 

A1. Equações de Diferenças Finitas Linear de Primeira Ordem A equação de diferenças finitas linear de primeira ordem é definida por:

e assim sucessivamente. Substituindo-se o valor de xt-1 da segunda equação na primeira, o valor de xt-2 da terceira equação na expressão que daí resulta, e assim repetidamente, até obter-se:

e a solução da equação é instável.

Informação Assimétrica - III

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Figura 21. Política Monetária Ativa e Estabilização da Economia

Observe-se, então, que o parâmetro β da política monetária afeta tanto o nível de preços, quanto o produto real. Se o governo tiver como objetivo de política econômica diminuir a variância do produto, ele pode escolher o valor de β para atingir esta finalidade. É fácil verificar-se que este valor é um (β=1). Nestas circunstâncias o Banco Central consegue eliminar o efeito de qualquer mudança na velocidade-renda da moeda sobre os níveis de preços e de produto real da economia, variando o estoque de moeda de sorte a contrabalançar os movimentos da velocidade: i ) se a velocidade sobe o Banco Central diminui o estoque de moeda; ii) se a velocidade diminui o Banco Central aumenta o estoque de moeda. 

A Figura 21 ilustra o que acontece em virtude da política monetária ativa do Banco Central. Quando a velocidade sobe, deslocando a curva de demanda agregada de DoDo para D1D1. o Banco Central reduz imediatamente o estoque de moeda, fazendo com que a curva de demanda agregada volte para sua posição original. Quando a velocidade-renda da moeda reduz-se, com a curva de demanda agregada deslocando-se de DoDo para D2D2, o Banco Central aumenta o estoque de moeda de sorte a fazer com que a curva de demanda agregada volte novamente para sua posição inicial.

Informação Assimétrica - II

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onde m é o valor de mt quando inexistem choques na velocidade da moeda. Por outro lado, quando ocorrem choques na velocidade-renda, o Banco Central procura agir de maneira a contrabalançá-los, pois ele tem informações sobre estes choques no próprio período t, enquanto o setor privado só saberá o que ocorreu com a velocidade no período seguinte (t+1). Deste modo, a previsão do setor privado, no período t-1, para o estoque de moeda no período t é igual a:

Informação Assimétrica - I

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Uma outra possibilidade da política econômica afetar de maneira sistemática o nível do produto real, mesmo quando os preços são flexíveis, é no caso de informação assimétrica dos agentes econômicos. Esta situação ocorre quando alguns agentes não têm acesso a informações que outros possuem. Para formalizar um modelo com informação assimétrica, considere-se as seguintes equações de demanda e oferta agregadas:

A primeira equação é a teoria quantitativa da moeda na sua forma clássica, com a velocidade-renda da moeda sendo dada por duas componentes, uma constante e igual a υ, e outra estocástica representada pela variável aleatória ε t, com média igual a zero, variância constante, e serialmente não correlacionada. A segunda equação é a Curva de Phillips, sendo ut a variável aleatória que representa os choques de oferta, e com as mesmas propriedades estatísticas de ε t. O sistema de equações anterior pode ser escrito em forma matricial, ou seja:

Preços Rígidos - V

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A Figura 20 trata do caso em que houve um aumento da componente não antecipada da política monetária. A curva de demanda agregada desloca-se de DoDo para D1D1. A curva de oferta não se desloca, pois os agentes econômicos não esperavam a mudança da política monetária. O novo equilíbrio de curto prazo é dado pelo ponto E1. Se o choque de demanda for permanente, o equilíbrio de longo prazo será dado pelo ponto E2. Caso contrário, a economia volta para o seu antigo equilíbrio (ponto Eo).

Figura 20. Efeito de Política Monetária Não Antecipada

Preços Rígidos - IV

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As principais conclusões deste modelo podem ser obtidas a partir da análise dessas duas equações. Elas são as seguintes: 

a) A política monetária antecipada (m) afeta tanto o nível de preços como o nível de renda real;

Figura 19. Efeito de Política Monetária Antecipada

b) Quando os preços forem flexíveis (φ = 0), a política monetária antecipada não influencia o nível de atividade econômica;

c) A política monetária não-antecipada (vt) atua sobre o produto real e o nível de preços;

d) O nível de preços, na inexistência de choque, converge para o valor p = m + v − y , dado pela teoria quantitativa;

e) O nível do produto real depois de uma mudança na componente antecipada da política monetária converge gradualmente para o produto de pleno emprego.
A Figura 19 mostra o que acontece com os níveis de preços e de renda real depois de um aumento na componente antecipada da política monetária. A curva de demanda desloca-se de DoDo para D1D1, e acurva de oferta desloca-se de SoSo para S1S1.

O novo ponto de equilíbrio de curto prazo é dado por E1, com os níveis de preços e de renda real mais elevados. A curva de oferta continua se deslocando, descrevendo vários equilíbrios de curto prazo, até que o equilíbrio final de longo prazo (ponto En) seja alcançado.

Preços Rígidos - III

Tweet Tomando-se a esperança matemática de ambos os lados nesta última equação, o nível esperado de preços será dado pela seguinte média ponderada:

Preços Rígidos - II

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Conforme a finalidade de simplificar a álgebra na solução do modelo, suponha-se que a equação de demanda agregada seja dada pela versão clássica da teoria quantitativa da moeda:

Preços Rígidos - I

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O modelo desenvolvido na última subseção leva a uma conclusão bastante radical sobre a eficácia das políticas monetária e fiscal nos modelos keynesianos em que os preços são flexíveis e as expectativas são racionais. esta proposição, que deve-se a Lucas, Sargent e Walace, afirma que as políticas monetária e fiscal que são antecipadas pelos agentes econômicos não afetam os níveis de emprego e de produto real da economia. Portanto, apenas as políticas monetária e fiscal não-antecipadas afetam o nível de emprego e o produto real. Obviamente, os responsáveis pela política econômica podem de vez em quando, transitoriamente, ludibriar o público, atuando de modo não esperado. Mas isto não poderia ser feito de maneira sistemática e permanente, pois os agentes terminariam por descobrir o padrão de comportamento por trás da política econômica.

A proposição de ineficácia da política econômica depende da hipótese de flexibilidade dos preços. Em outras palavras, quando os preços não forem flexíveis as políticas monetária e fiscal influenciarão os níveis de renda real e de emprego da economia. a rigidez no sistema de preços deve-se à existência de contratos explícitos ou implícitos que, pelo menos no curto prazo, impedem os mercados de se ajustarem instantaneamente, quando eles se defrontam com novas condições de política econômica. Admita-se que existe uma certa rigidez na economia, de tal sorte que o nível de preços seja igual a uma média ponderada do nível de preços do período anterior e daquele que seria praticado se não houvesse rigidez:

Preços Flexíveis - VIII

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Suponha-se que a partir de um certo momento há uma mudança na política monetária, e a taxa de crescimento dos meios de pagamentos aumenta de μo para μ1, como indicado na Figura 18. A taxa de inflação aumenta instantaneamente de πo = μo para π1 = μ1, e o nível de preços dá um pulo para uma nova trajetória, em que a taxa de crescimento é mais elevada que anteriormente. Observe-se que o pulo do nível de preços no instante to é factível, pois os preços são flexíveis. Em outras palavras, eles podem se ajustar instantaneamente quando as condições da economia mudam. A nova taxa de expansão monetária não produz

Figura 18. Ajustamento no Modelo de Previsão Perfeita a uma Mudança na Política

Monetária

Preços Flexíveis - VII

Tweet A Figura 17 mostra o diagrama de fases correspondente a esta equação. O modelo é instável, como indicam as setas, pois ambos os coeficientes α e β são positivos. A solução da equação diferencial é dada por:

Figura 17. Diagrama de Fases do Modelo de Previsão Perfeita

onde a notação exp ( ) indica o número natural e elevado à expressão entre parênteses, e C é uma constante que depende das condições iniciais. Admitindo-se que para t=0, tem-se π=μ, a constante C é igual a zero. Logo, a solução do modelo, nestas circunstâncias, é tal que a taxa de inflação é sempre igual à taxa de expansão do estoque de moeda:

Preços Flexíveis - VI

Tweet No modelo desenvolvido até aqui as variáveis eram estocásticas. Admita-se, agora, que as variáveis são determinísticas, e que as equações do modelo são as seguintes:

A primeira é a equação de demanda agregada, e a segunda equação é a curva de Phillips, que já vimos anteriormente na seção que trata do modelo com expectativas adaptativas. A terceira equação supõe previsão perfeita, no sentido de que a taxa de inflação esperada é igual à taxa de inflação observada. esta hipótese implica, de acordo com a curva de Phillips, que o produto real será sempre igual ao produto potencial da economia:

Preços Flexíveis - V

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Figura 15 ilustra o efeito de um choque de oferta. Suponha que a curva de oferta agregada desloca-se de SoSo para S1S1, em virtude da ocorrência de um fato não antecipado pelos agentes econômicos. Nestas circunstâncias, o nível de preços sobe de po para p1, e a renda real cai de y para y1. A Figura 16 ilustra o efeito de um choque de demanda no sistema. Admita-se que a quantidade nominal de moeda aumentou além daquilo que era previsto. A curva de demanda desloca-se de DoDo para D1D1. O efeito desta mudança é aumentar o nível de preços de po para p1, e o nível de renda real de y para y1.

Figura 15. Efeito de um Choque de Oferta Não Antecipado

Figura 16. Efeito de um Choque de Demanda Não Antecipado

Preços Flexíveis - IV

Tweet Nestas equações estão contidas as principais conclusões do modelo que estamos analisando. Elas são as seguintes:

Figura 14. Efeito de Políticas Antecipadas

a) As políticas monetária (m) e fiscal (f) que são antecipadas pelo público não afetam o nível de renda real da economia;

 b) As políticas monetária (m) e fiscal (f) que são antecipadas afetam apenas o nível de preços;

c) As componentes não antecipadas das políticas monetária (vt) e fiscal (η t) afetam tanto a renda real como os preços;

d) Os choques de oferta (ut) e de demanda (ε t) afetam os preços e o produto real da economia.

A Figura 14 ilustra o efeito de uma política monetária (ou fiscal) que é antecipada. Admita-se que a curva de demanda agregada desloca-se de DoDo para D1D1, em virtude de um aumento antecipado da quantidade nominal de moeda. Os agentes econômicos deslocam a curva de oferta agregada de SoSo para S1S1, pois antecipam que os preços irão aumentar. O nível de renda real permanece inalterado em y , e o nível de preços aumenta de po para p1.

Preços Flexíveis - III

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Como o modelo não diz qual o valor da previsão inicial po e ele apresenta uma infinidade de soluções para o nível de preços esperado. Qualquer que seja o valor de po e , ele gera uma trajetória dos níveis de preços esperados que é solução do modelo. Outra propriedade deste modelo é que para um dado nível de preços esperado para o instante inicial, diferente de m + (γ /α ) f + (k − y) /α , o nível de preços esperado cresce indefinidamente, pois o coeficiente (β+α)/α é maior do que um. Logo, o modelo tem uma trajetória explosiva, caracterizando-se por uma bolha (bubble). Uma maneira de resolver este problema é impor uma condição adicional, admitindo-se que num determinado momento no futuro o nível de preços esperado permanece estável. Isto é:

Preços Flexíveis - II

Tweet As equações de demanda e oferta agregadas podem ser escritas na seguinte forma matricial:

Preços Flexíveis - I

Tweet Considere-se o modelo formado pelas seis equações:

A primeira equação é a equação de demanda agregada. Seus argumentos são o nível de liquidez real da economia, a taxa de inflação esperada, e a variável de política fiscal, aqui representada pela letra f. A taxa de inflação esperada é aquela antecipada no período t-1, para o período t+1. A segunda equação é a curva de Phillips do modelo. A terceira e a quarta equações, são as equações das políticas monetária e fiscal. Admite-se, por simplicidade, que elas têm como objetivo atingirem, em média, os valores f e m. As duas últimas equações dizem respeito à formação de expectativas: os níveis de preços esperados para os períodos t+1 e t, no período t-1, são as esperanças matemáticas dos respectivos níveis de preços, da distribuição condicionada pela informação disponível no período t-1.

Dinâmica e Equilíbrio Macroeconômico com Expectativas Racionais

Tweet Nesta seção consideraremos três modelos. No primeiro, os preços são flexíveis e os mercados se ajustam instantaneamente. No segundo modelo existe uma certa rigidez no sistema de preços. O terceiro modelo supõe que a informação dos agentes econômicos é assimétrica, no sentido de que o setor privado não tem acesso à informação que o governo possui. Em todos os modelos admitiremos que as expectativas são racionais.

Mudança na Política Fiscal - III

Tweet Algumas propriedades importantes deste modelo, quando ocorrem mudanças na política fiscal, devem ser salientadas. Entre elas cabe citar:

a) A mudança na política fiscal afeta, no curto prazo, a taxa de inflação. No longo prazo, a taxa de inflação independe da política fiscal.
b) O nível de preços depende da política fiscal. Com o aumento dos gastos do governo, a taxa de juros real da economia aumentará e, consequentemente, a taxa de juros nominal. O nível de liquidez real diminuirá, através da mudança do patamar da trajetória do nível de preços.
c) O multiplicador dos gastos do governo no longo prazo é igual a zero, havendo crowding-out completo. No curto prazo ele é positivo, pois quando o dispêndio do governo aumenta, a renda real cresce. Depois de algum tempo este aumento dos gastos do governo provoca uma queda no produto real, e o surgimento de capacidade ociosa na economia. Logo, para alguns períodos, o multiplicador dos gastos do governo é negativo.

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Mudança na Política Fiscal - II

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O aumento dos gastos do governo no momento to colocará a economia, neste instante, no ponto A, onde o nível de renda real e a taxa de inflação cresceram. O nível de renda real continuará a crescer por algum tempo, e depois começará a decrescer, e através de um processo cíclico irá terminar no nível do produto potencial. A taxa de inflação, por sua vez, aumentará até um certo momento, e então através de uma trajetória oscilatória terminará por alcançar a taxa de longo prazo, igual à taxa de expansão monetária.

Figura 12. Dinâmica de Ajustamento a Mudanças na Política Fiscal

Mudança na Política Fiscal - I

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Admita-se que a partir do período to o nível de gastos do governo, por unidade de tempo, aumenta de fo para f1, como indicado na Figura 11. Este aumento dos gastos do governo desloca a curva de demanda agregada, acarretando inicialmente um aumento no produto real e na taxa de inflação. Esta nova posição de equilíbrio de curto prazo não corresponde a um equilíbrio de longo prazo, pois a taxa de inflação esperada não coincide com a taxa de inflação efetivamente observada. 

A Figura 12 descreve a dinâmica de ajustamento do modelo. Admita-se que inicialmente a economia encontrava-se no ponto E, de equilíbrio de longo prazo. Como a taxa de expansão monetária não se alterou, a economia acabará por voltar ao ponto E.

Mudança na Política Monetária - IV

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Figura 10. As Trajetórias de Ajustamento da Taxa de Inflação do Produto Real e do Nível

de Preços: Mudanças da Política Monetária

Mudança na Política Monetária - III

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a) Não se deve esperar uma correlação forte entre a taxa de inflação e a taxa de expansão monetária no curto prazo, pois para uma taxa de crescimento mais elevada da base monetária, a taxa de inflação apresenta várias fases: na primeira ela está subindo, depois ela começa a diminuir, para em seguida entrar num período em que ela segue um padrão cíclico, até atingir o novo equilíbrio de longo prazo. 

b) O patamar da inflação, ou seja, a taxa de inflação no longo prazo, calculada por uma média de taxas que cobrem uma fase cíclica da economia, é determinada pela taxa de crescimento dos meios de pagamentos. 

c) A conseqüência inicial de uma mudança na política monetária, através de uma elevação do ritmo de expansão da moeda, é o aquecimento da economia. Todavia, em períodos posteriores, esta mudança de política monetária irá acarretar fases de capacidade ociosa na economia. Portanto, não se pode afirmar com base na análise de fatos isolados, de períodos em que a economia apresenta capacidade ociosa, que a inflação não é de demanda. A dinâmica da economia pode confundir o observador menos sofisticado, que pretenda enxergar através da fotografia tirada num dado instante, ao invés de proceder uma análise cuidadosa do filme que conte toda a história do processo inflacionário. 

d) A mudança da política monetária fará com que a trajetória do nível de preços mude não somente de inclinação, como aconteceria se no longo prazo a reta tracejada da Figura 10 fosse o novo caminho do nível de preços, mas também de patamar. Com efeito, se tal fato não acontecesse, a liquidez real da economia continuaria no mesmo nível da época que antecedeu a mudança da política monetária. Como a taxa de expansão monetária mais elevada, corresponde a uma taxa de juros nominal maior, a liquidez real da economia deve diminuir depois do período de ajustamento. Daí, a mudança no patamar do nível de preços.

Mudança na Política Monetária - II

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Quando a política monetária muda, as duas retas π = 0 e y = 0 deslocam-se de suas posições iniciais (não desenhadas na Figura 9) para as posições em que elas passam pelo novo ponto de equilíbrio de longo prazo ( y = y e π = μ ) 1 . O ponto Eo encontrase agora na região em que a trajetória da taxa de inflação e do produto real se dará no sentido nordeste. Inicialmente o produto real e a taxa de inflação aumentarão. Observe-se que a taxa de inflação começa a aumentar lentamente, depois ultrapassa o seu valor de equilíbrio de longo prazo (fenômeno conhecido na literatura em inglês pelo nome de overshooting), continuando a aumentar, até que atinge seu máximo, para em seguida começar a diminuir, em direção ao seu equilíbrio de longo prazo. A Figura 9 foi desenhada supondo-se que as raízes da equação diferencial de segunda ordem são números complexos conjugados, de sorte que a trajetória de ajustamento é cíclica. O produto real da economia inicialmente, com o aumento do ritmo da expansão monetária, cresce. A partir de um certo ponto ele começa a declinar, e a economia passa a operar durante certo tempo com capacidade ociosa.. Eventualmente, através de um processo cíclico a economia volta ao nível de pleno emprego. A Figura 10 descreve as trajetórias de ajustamento da taxa de inflação, do produto real e do nível de preços, e as seguintes propriedades deste modelo devem ser salientadas:

Figura 9. Dinâmica do Ajustamento : A Mudança na Política Monetária

Mudança na Política Monetária - I

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Imagine-se que até o período to a taxa de expansão monetária era igual a μo. Neste momento o Banco Central muda a política monetária, e passa a expandir os meios de pagamentos a uma taxa igual a μ1, como indicado na Figura 8. Suponha-se ainda que inicialmente a economia encontrava-se em equilíbrio de longo prazo, com o produto igual ao produto potencial, e a taxa de inflação igual a taxa de crescimento da oferta monetária (π=μo), como no ponto Eo da Figura 9.

Figura 8. Mudança na Política Monetária

Análise do Modelo no Plano π-y - Part 2

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Figura 6. A Dinâmica da Taxa de Inflação

Figura 7. A Dinâmica do Produto Real e da Taxa de Inflação

Quando o modelo for estável (α >βθ ) , a economia converge para o ponto de equilíbrio E, onde π = μ e y = y . Admitiremos nos dois exercícios que se seguem que o modelo é estável.

Análise do Modelo no Plano π-y - Part 1

Tweet O modelo que estamos descrevendo nesta seção pode ser analisado com auxílio de um diagrama de fases no plano π-y. Para esta finalidade escrevemos o sistema de equações (1) do seguinte modo:

Na Figura 5, as combinações de π e y para os quais o produto real se mantém constante estão representadas pela reta y = 0. Nos pontos abaixo desta reta o produto real aumenta, e para os pontos acima da reta, o produto real diminui, como indicam as setas. A Figura 6 descreve a dinâmica da taxa de inflação. As combinações do produto real e da taxa de inflação para os quais a taxa de inflação é constante estão representadas na reta π = 0. Esta reta tem uma inclinação maior do que a reta y = 0. Nos pontos abaixo da reta π = 0, a inflação aumenta; nos pontos acima da reta a inflação diminui. As setas na Figura 7, indicam, em ambos os casos, o que acontece com a taxa de inflação. A Figura 7 descreve a dinâmica do produto real e da taxa de inflação quando a economia não está em equilíbrio de longo prazo. Esta figura é o resultado da superposição das Figuras 5 e 6. As setas indicam os movimentos possíveis de duas variáveis, π e y, do modelo. Por exemplo, nos pontos que estão simultaneamente abaixo das retas π = 0 e y = 0, a trajetória de π e y se dará no sentido nordeste.

Figura 5. A Dinâmica do Produto Real

Especificação e Análise de Estabilidade do Modelo - I

Tweet A solução deste sistema é dado por:

admitindo-se que a taxa de crescimento da quantidade de moeda é constante (D=0). Este sistema reduz-se, portanto, a duas equações diferenciais de segunda ordem nas variáveis y e π:

Especificação e Análise de Estabilidade do Modelo - I

Tweet Admita-se que o modelo que descreve a economia seja formado pelas três equações:

A primeira equação é a equação de demanda agregada: o produto real (y) depende da liquidez real (m-p), da taxa de inflação esperada (πe) e da política fiscal, aqui representada pela letra f. Os parâmetros α e β são positivos. Quando f representar gastos do governo γ será positivo, e quando f representar impostos γ será negativo. A segunda equação do modelo é a curva de Phillips: a taxa de inflação (π) depende da taxa esperada (πe) e do hiato do produto ( y − y ). A letra y representa o produto potencial da economia, e δ é um parâmetro positivo. A terceira equação é o mecanismo de expectativa adaptativa de formação de previsão, para variáveis contínuas, pois estamos supondo que todas as variáveis do modelo são contínuas. Para resolver o modelo, começamos por combinar a segunda e a terceira equação, obtendo-se:

onde μ=Dm e, por definição, π=Dp. Este sistema de duas equações pode ser escrito em notação matricial. Isto é:

Dinâmica e Equilíbrio Macroeconômico com Expectativas Adaptativas - II

Tweet cuja soma é igual a 1,

Esta expressão mostra, para variáveis contínuas, o fato já mencionado anteriormente de que a previsão do próximo período é corrigida em função do erro cometido no passado.

Dinâmica e Equilíbrio Macroeconômico com Expectativas Adaptativas - I

Tweet O mecanismo de expectativa adaptativa supõe que a previsão de uma variável, por exemplo a taxa de inflação, é igual a previsão feita no período anterior corrigida por uma fração de erro cometido nessa previsão. Quando as variáveis são do tipo discretas, o mecanismo de expectativas adaptativas é dado pela seguinte expressão:

onde λ é um parâmetro compreendido entre zero e um. Por simples manipulação algébrica este mecanismo pode ser escrito como:

mostrando um outro ângulo de se olhar este mecanismo: a previsão para o próximo período é igual a uma média ponderada dos valores passados, com pesos declinando geometricamente. Quanto mais próximo de zero for λ, mais importante o passado recente para se prever o futuro. Em notação mais compacta: